À la recherche des nombres de Catalan

Publié le par Étienne

Mardi soir.

J'étais confortablement avachi dans notre petit divan et, contrairement à la première idée qui vous vient probablement à l'esprit, je ne regardais pas la télévision. Normal, je n'en ai pas.

J'étais confortablement avachi donc, dans une position étrange que seuls peuvent prendre les savants fous qui réfléchissent à un problème abstrait et sans intérêt pour le commun des mortels. Pas que je sois un savant, loin de moi cette prétention.

J'étais confortablement avachi, disais-je, et je réfléchissais à un problème mathématique tout en griffonnant au dos d'une enveloppe. J'adore griffonner sur les enveloppes qu'on reçoit par la poste et qui finissent à la poubelle. Comme la place commençait à manquer sur ladite enveloppe, j'en déchirai soigneusement les bords afin de la retourner et pouvoir écrire sur la face intérieure. En effet, comme j'avais vidé la corbeille papier le dimanche, je n'en avais pas d'autres sous la main.

Je cherchais à dénombrer le nombre de partitions en ensembles disjoints d'un ensemble de n élements. Par exemple, pour n = 3, il y a cinq partitions possibles pour un ensembe { a, b, c} :
  1. { a, b, c }, la partition constituée de l'ensemble lui-même,
  2. { a }, { b, c },
  3. { b }, { a, c },
  4. { c }, { a, b },
  5. { a }, { b }, { c }, la partition constituée de trois singletons.
En commençant par les cas simples (n = 1, 2, 3, ...), je cherchais la piste d'une règle récursive ou d'une formule simple que j'aurais ensuite pu démontrer.

C'est alors que je me suis souvenu d'un étonnant site web apparu il y a une dizaine d'année alors que je débutais ma formation universitaire en mathématiques : The Online Encyclopedia of Integer Sequences. Je ne me souviens plus qui me l'avait montré ou pourquoi je m'y étais intéressé.

Le principe est simple : on entre quelques éléments d'une suite d'entiers et hop le site nous retourne les suites qui débutent / contiennent les entiers donnés. Ni une ni deux, j'entre 1, 2, 5, 14 et le logiciel me sort 170 suites dont la première se trouve à être selon toute vraisemblance celle que je cherche : les nombres de Catalan. Le site ne se contente pas de donner la suite mais également la formule qui la génère ainsi que des liens et des références. Ainsi, en moins de dix minutes, j'avais trouvé réponse à toutes mes interrogations : la valeur pour n = 15, une formule récursive avec sa démonstration et, en prime, de nombreux problèmes où cette même suite s'applique. Entre autres, cette suite serait la solution du premier problème de Schroeder, dont je ne peux malheureusement vous entretenir, la physique contemporaine m'échappant...

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